დაიბადა დუშეთის რ-ნის სოფ. პირმისაანთკარში, 7 იანვარს, 1913 წელს (ახ. სტილით). იყო საკადრო არტილერისტი (1937 წლიდან). წითელ არმიაში 1933 წლიდან მსახურობდა. დიდ სამამულო ომში იბრძოდა ჩრდ.-დასავლეთის, ჩრდ. კავკასიისა და ამიერკავკასიის ფრონტებზე. დაიჭრა სამჯერ. გარდა საბჭოთა კავშირის გმირის წოდებისა, მიღებული აქვს ლენინის, წითელი ვარსკვლავის ორდენები და არაერთი მედალი. გახდა პოლკოვნიკი.
დიდი სამამულო ომში მონაწილეობდა 1942 წლის აგვისტოდან. უფროსი ლეიტენანტი ალექსანდრე პირმისაშვილი იბრძოდა 37-ე არმიის 392-ე მსროლელი დივიზიის 955-ე საარტილერიო პოლკის საარტილერიო დივიზიონში (დივიზიონის მეთაური), თავდაპირველად – ჩრდილოეთ კავკასიის ტერიტორიაზე, როდესაც მტრის შემოტევა ყველაზე ძლიერი იყო და ბევრს ეჩვენებოდა, რომ საბჭოთა ჯარები ვერ შეძლებენ მის შეჩერებას. პირმისაშვილის არტილერისტებმა გაანადგურეს 500-მდე ჰიტლერელი, რომლებიც კონტრიერიშის განხორციელებას ცდილობდნენ. პირმისაშვილი იმით გამოირჩეოდა, რომ უშიშრად გამოდიოდა თავისი საარტილერიო ბატარეით ღია ადგილებზე და იქედან უშენდა მტერს ჭურვებს. ამავე დროს, ქართველი გმირი ყოველთვის ახერხებდა თავისი არტილერისტების დროულად გადაყვანას ახალ ადგილზე, რითაც მათ უსაფრთხოებას უზრუნვეყოფდა და ახალ ბრძოლებში ერთვებოდა.
ერთხელ, ა. პირმისაშვილმა ფაშისტების მანქანების გადაადგილება შენიშნა მათსავე ზურგში და დაუყოვნებლივ გაუხსნა მათ ცეცხლი. მტრის 23-ე სატანკო დივიზია განადგურებულ იქნა, მათ შორის დაიღუპადივიზიის მეთაური – გენერალი ფონ მაკკი. ამან მოწინააღმდეგის ჯარებში დიდი დაბნეულობა გამოიწვია, რითაც საბჭოთა ჯარებმა კარგად ისარგებლეს.
ყოველივე ამის გათვალისწინებით, ა. ზ. პირმისაშვილს, სსრკ უმაღლესი საბჭოს პრეზიდიუმმა უყოყმანოდ მიანიჭა საბჭოთა კავშირის გმირის წოდება 1942 წლის 13 დეკემბერს.
ომის შემდგომ, ა. პირმისაშვილი მუშაობდა შინაგან საქმეთა სამინისტროს სტრუქტურებში. ცხოვრობდა თბილისში, გარდაიცვალა 1986 წლის 15 სექტემბერს.
